Matematica discreta Esempi

$h (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$

Passaggio 1

Imposta $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ uguale a $0$ .

$x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 36$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 36$

Passaggio 2.1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 + 6 \cdot 2 - 36$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$8 + 16 + 6 \cdot 2 - 36$

Passaggio 2.1.3.5

Somma $8$ e $16$ .

$24 + 6 \cdot 2 - 36$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica $6$ per $2$ .

$24 + 12 - 36$

Passaggio 2.1.3.7

Somma $24$ e $12$ .

$36 - 36$

Passaggio 2.1.3.8

Sottrai $36$ da $36$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36}{x - 2}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ per $x - 2$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$6 x$

$36$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $18 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$
							+	$18 x$	-	$36$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $18 x - 36$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$
							-	$18 x$	+	$36$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$
							-	$18 x$	+	$36$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 6 x + 18$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ come insieme di fattori.

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 18) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 6 x + 18 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2} + 6 x + 18$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2} + 6 x + 18$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 6 x + 18 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} + 6 x + 18 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 6$ e $c = 18$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.2.3.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

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Passaggio 2.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $18$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 72}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.3

Sottrai $72$ da $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.4

Riscrivi $- 36$ come $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (36)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.7

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.9

Sposta $6$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i}{2}$

Passaggio 2.4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 6 i}{2}$ .

$x = - 3 \pm 3 i$

Passaggio 2.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 3 + 3 i, - 3 - 3 i$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x^{2} + 6 x + 18) = 0$ vera.

$x = 2, - 3 + 3 i, - 3 - 3 i$

Passaggio 3